如何学好高中数学?

这个问题，我有资格说。

不是因为我毕业于985/211双一流大学，是因为我遇到过很多研究过很久。

不是完全不会，是那种明明听懂了，明明做过类似的题，但一到考试，就是差那么几分，差那么几道题，差那么一点点，然后那个分数，就是上不去。

那种感觉，不是崩溃，是一种钝钝的、持续的、让你怀疑自己的挫败感。

我后来想清楚了一件事，才真正突破的。数学学不好，大多数时候，不是你不够努力，是你努力的方向，搞错了。

今天，我把我想清楚的事，认真说一遍。

先做一个诊断，找到你真正卡在哪里。

很多人说”数学不好”，但”数学不好”这四个字，背后可能是完全不同的问题，解决方法，也完全不同。

你先对照着想想，你属于哪种：

类型一：概念听懂了，例题会了，但换一道题就不会。

这是理解的问题，不是练习量的问题。

你以为你懂了，其实你只是见过这道题，没有理解这个知识点的本质。

类型二：会做，但慢，考试做不完。

这是熟练度的问题，和解题速度的问题。

知道怎么做，但手不够快，脑子还没把这套流程内化成自动反应。

类型三：简单题沒问题，一到压轴就崩。

这是思维层次的问题，不是基础的问题。

基础知识都掌握了，但缺乏把知识点跨越组合起来解决复杂问题的能力。

类型四：平时做对，考试就出错。

这是心理状态和习惯的问题，不是能力的问

题。压力下的发挥，和平时的发挥之间，有一道鸿沟。

类型五：什么都会，但总是粗心算错。

这不是粗心，是习惯的问题，是具体的、可以被纠正的习惯。

搞清楚你属于哪种，再往下看对应的解法。

如果你搞不清楚，做一件事——拿出最近一次数学考卷，把所有错题分成三类：

第一类：根本不知道怎么做。

第二类：知道方向，但做错了或者没做完。

第三类：做完了，但计算出错，或者最后一步错了。

这三类的比例，告诉你你的真实问题在哪里。

类型一的解法：你可能从来没有真正“懂”过

这是最普遍的问题，也是最多人没有意识到的问题。

听懂，和真的懂，是两件不同的事。

听懂，是跟着老师的逻辑走，老师每一步你都能跟上，感觉没有问题。

真的懂，是你能独立地从零开始，解释这个知识点是什么，为什么是这样，在什么情况下用，不用它会怎样。

检验自己是不是真的懂，用这个方法——合上课本，把这个知识点的定义、性质、适用条件，用自己的话说一遍。

然后，不看例题，自己尝试用这个知识点解决一道陌生题目。

如果说不出来，如果做不出来——说明你之前的理解是假的，你只是在跟着老师走，没有真正把这个东西装进你自己的脑子。

怎么真正理解一个知识点？

第一步：读定义，不是背定义，是理解每个字在说什么。

举个例子——等差数列的定义：“从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数。”这里面，从第二项起是什么意思？为什么是从第二项？第一项不受约束吗？

“每一项与前一项的差”——是后项减前项，还是前项减后项？顺序重要吗？

“同一个常数”——可以是负数吗？可以是零

吗？是零的话还叫等差数列吗？

这些问题，你一个一个想过去，定义才是真的进入了你的脑子。

第二步：想这个知识点从哪里来，为什么要定义它。

等差数列为什么要被单独研究？

因为它有规律——知道首项和公差，就能知道所有项，就能求任意项的值，就能求任意多项的和。

这个规律，有什么用？

解实际问题，建数学模型，研究数列的性质

知道了它从哪里来、用在哪里，你对它的理解就不只是一个符号，而是一个有血有肉的工具。

第三步：把它和你已知的东西联系起来。

等差数列的通项公式，和一次函数的形式有什么联系？

等比数列的通项公式，和指数函数有什么联

系?

这些联系，不是湊巧，是数学的内在结构——看见这些联系，你对整个数学体系的理解，会深一个层次。

类型二的解法：你做的题，可能根本没有“做

对”

这个说法，听起来有点奇怪，我解释一下。

很多人刷题的方式是这样的——做一道题，做完，对答案，对了，翻篇，下一道。

这个方式，有一个巨大的隐患——你做对了这道题，不代表你掌握了这道题考察的能力。

也许你是蒙的，也许你是湊巧用对了方法，也许这道题你见过类似的，也许你用了一个不可靠的方法碰巧得了正确答案。

真正的“做对”，是你能在三分钟内，清楚地说出这道题的解题思路，为什么这样想，关键的判断在哪里，如果题目条件变一变，答案怎么变。做不到这个，那道题的正确答案，不算你的。

提高熟练度，正确的方法是什么——不是刷更多的题，是把做过的题，真正消化掉。

每道做完的题，不管对错，做完之后问自己三个问题：

这道题考的核心知识点是什么？

我的解题路径是什么，哪一步是关键判断？

这道题有没有更简洁的解法，或者不同的角

度？

这三个问题都能回答，这道题才算真正做完

了。

然后，三天之后，回来再做一遍——不看之前的答案，重新做。

能做出来，说明真的掌握了。

做不出来，说明之前只是做完了，没有吸收，要再研究一遍。

这个方法，一开始会很慢，感觉做的题少，但每道题的吸收率极高。

比你刷一百道题吸收二十道，要强得多。

类型三的解法：压轴题，本质上考什么？

这件事，很多老师没有说透，我来说。

压轴题，考的不是某个知识点，考的是——

在一道题里，同时调用多个知识点，然后找到它们之间的连接方式，组合成解题路径的能力。

这个能力，不是靠刷题刷出来的，是靠“思考

题目结构”训练出来的。

具体怎么训练？

第一步：见到一道题，先不要想怎么解，先问自己——

这道题给了我什么条件？

这道题要我求什么？

条件和结论之间，有什么距离？

这个距离，需要什么知识点来填补？

这三个问题，是解题的前期分析，大部分人跳

过了这一步，直接开始算，然后算到一半发现走错方向了。

第二步：建立知识点之间的网络，不是点，是

网。

高中数学，大概有这些模块——函数、数列、三角、向量、解析几何、立体几何、概率统计、不等式。

这些模块，单独学没问题，但压轴题经常是把

两个甚至三个模块组合起来考。

函数和不等式组合，向量和解析几何组合，数

列和不等式组合——

你需要在脑子里建立一张网，知道这些模块之

间如何连接，连接点在哪里。

怎么建这张网——每次做完一道综合题，把它用到的知识点写出来，画一张简单的连接图。

做多了，你脑子里的网会越来越清晰，见到新

题，能更快地判断这道题的连接方式。

第三步：学会”逆向思维”——从结论往条件

推。

很多压轴题，正向推推不出来，但从结论往回

推，会快得多。

要证明一个结论，想想这个结论成立的充分条

件是什么——

然后看题目给的条件，能不能推出那些充分条

件。

这个方向，很多时候比正向推更高效。

类型四的解法：考试出错，根源在哪里

这件事，比大多数人以为的，要复杂。

“考试发挥失常”，听起来像是运气问题，但其实是可以分析的。

第一种情况：看错题，审题出错。

解决方法——养成读题两遍的习惯，第一遍整

体读，第二遍把关键词——已知、求、条件限制——圈出来，再开始做。

这个习惯，形成之后是自动的，不需要额外时

间，但能减少大量审题错误。

第二种情况：做题顺序不对，前面卡住浪费时

间，后面没时间做。

解决方法——考试前两分钟，快速扫一遍整张

卷子，对时间做预判。

简单题，快，不超过预计时间；

难题，给自己设一个时间上限，到了时间做不

出来，先跳过，做完后面的，最后回来。

很多人在一道难题上死磕，后面会的题没来得

及做，性价比极低。

第三种情况：平时会，考试压力下大脑空白。

这是真实存在的生理现象，不是你“太紧张”—压力状态下，大脑的血液会从负责逻辑思维的前额叶，流向负责应激反应的杏仁核，你的逻辑能力确实暂时下降了。

解决方法——模拟考试状态，平时练习的时候

也要有时间压力。

不是随便做，是严格按照考试时间，不允许暂

停，不允许看答案，不允许用手机——

把这种状态练习到足够多次，你的大脑对”考

试压力”的应激反应会降低，考场上更容易进入状态。

类型五的解法：”粗心”这个词，要从你的字典里删掉

认真说这件事——

没有粗心，只有没有养成正确习惯。

所有的”粗心”，都有具体的原因———

是符号写错了，是抄错数据，是跳步算错，是

最后没有检查——

每一种，都有对应的习惯可以修正。

解决方法——

做一个”错误日志”，每次算错，不是在旁边写个叉，是写清楚——

我在哪一步出错了？为什么出错？这类错误我

出现过几次？

分析之后你会发现，你的错误不是随机的，是

有规律的——

也许你总是在最后一步漏了负号，也许你总是

在处理分式的时候算错，也许你总是在几何题里忘记分类讨论——

找到规律，针对性地在那个位置，刻意放慢，

刻意检查，形成习惯。

还有一件事，很多人不知道——

高中数学，每次做完一道大题，要养成一个动

作——

把答案代回原式，验证一遍。

只要答案能代回去，大题基本不会算错。

这个动作，花三十秒，能帮你在大题上減少大

量失分。

说一个很多人做错的事：题海战术

题海战术，本身不是错的。

错的，是没有质量的题海战术。

做一千道题，每道做完就翻篇，错误不分析，

方法不总结，做完之后没有任何积累——

这一千道题，是无效的一千道题。

你浪费了时间，浪费了精力，然后发现分数还

是没有提高，然后你开始怀疑是不是自己太笨——

不是你太笨，是你的努力没有方向。

有质量的刷题，是这样的——

做题量，控制在你能认真消化的范围内。

每道题，真正弄懂——不只是看答案，是能自

己复现解题过程。

定期回头，把做错的题重新做一遍——

叫做错题的”二刷”和”三刷”。

很多人错题本记了很多，但从来不回头看——

错题本的意义，不是记录，是复习。

记了不看，那个本子，只是你努力过的证明，

不是你进步的来源。

错题至少要回头做三次——

第一次，做错，分析原因，弄懂。

第二次，一周后，遮住答案，重新做，检验是

不是真的会了。

第三次，一个月后，再做一遍，检验是不是真

的记住了。

三次都能做出来，这道题才算真正是你的。

三次里有一次做不出来，说明还需要继续巩

固。

这个方法，有一个心理学基础，叫做”间隔重

复”——

在遗忘发生之前，重新激活记忆，可以大幅延长记忆的保留时间。

用在数学上，就是——

在你快要忘记这道题的解法的时候，重新做一

遍，你对这道题的掌握，会比你天天看它，深得多。

说一个各模块的具体攻克策略

不同模块，有不同的攻克方式，分开说。

函数：

函数是整个高中数学的核心，其他模块都和它

有联系。

函数的难点，不是计算，是理解——

理解函数是什么，理解定义域和值域的关系，

理解函数图像和函数性质之间的关联。

攻克方式：

对每一个函数，都要画图——

不是让你画得多准，是画的过程强迫你思考这

个函数的形状，思考它在不同区间的行为。函数题做不出来，很多时候是因为脑子里没有这个函数的图像，画出来之后，很多问题会自然变得清晰。

数列：

数列的核心，是找规律，建方程，用公式。

难点在于等差、等比之外的“非常规数列”。

看到一个数列，第一件事不是套公式，是看它

的“递推关系”——

第n项和第n-1项之间，有什么关系？

找到递推关系，后面的推导基本就有方向了。

另外，数列的求和，“错位相減法”和“裂项相消法”是两个很多人没有真正掌握的方法——这两个方法，适用情况要记清楚，用法要练到熟练。

三角函数：

三角函数，很多人的问题是公式记不住，记住

了又不知道用哪个。

公式不是靠死背的，是靠理解推导的。

最基本的公式，只有几个——单位圆的定义，勾股定理，两角和的公式。

从这几个出发，其他公式都可以推导出来。

自己推导过一遍的公式，远比死背的公式，记

得牢，用得准。

三角题的解题关键，是”化简”——

把复杂的三角表达式，化成简单的形式，然后

再求值或者求解。

化简的方向，通常是——把所有角化成同一个角，把所有函数化成同一种函数，然后用基本公式整合。

向量：

向量是工具，它本身不难，但经常和其他模块

组合考。

向量和三角组合，向量和几何组合——重点练习的，不是向量本身，是如何用向量去解决几何问题。

向量最核心的工具，是”数量积”。

这个公式，把向量的运算和角度联系起来，是

很多解题的关键桥梁。

解析几何：

这是很多人的噩梦，因为计算量极大。

解析几何的核心问题，不是不会，是算不完

很多人思路是对的，但算到一半算不下去，或

者算错了。

解析几何的攻克，有两件事必须做——

第一，计算要练到足够快，足够准——分式运

算、根式运算、方程组联立——这些基本功要过关。

第二，要学会“设而不求”——很多解析几何题，中间过程会出现一个很复杂的值，但最后答案里这个值会消掉——这种情况，可以先设这个值为某个字母，继续往下推，等到最后看它是不是真的消掉了，不要一开始就硬算。

这个技巧，能节省大量计算时间。

立体几何：

立体几何，有两种解法——传统的空间向量

法，和综合法。

现在高考，空间向量法是主流，因为它把空间

想象变成了计算，对空间感不好的人更友好。

但要注意——空间向量法，需要你能正确建立坐标系，这是第一步，也是关键步骤——

坐标系建错了，后面全错。

建坐标系的原则，是让尽可能多的已知点，有

简洁的坐标——通常选直角、对称轴、特殊点作为坐标原点，

沿着互相垂直的边建立坐标轴。

概率统计：

这个模块，很多人觉得简单，但丟分也不少

因为概率题考的是对”随机事件”的理解，很多

时候不是计算错，是概率模型建错了。

两个最常见的错误——

一是排列组合算错——分清楚什么时候是有序

的，什么时候是无序的，对应用排列还是组合。

二是条件概率搞混——P(A/B)和P(AB)是不同

的东西，这两个混淆，整道题就全错了。

这个模块，重点练的，不是计算，是准确地建

立概率模型——

读完题，先把“样本空间”是什么，“事件”是什么，“有利结果”是什么，清楚地写出来，再开始算。

一个很多人不知道的学习方法：费曼技巧，用在数学上

费曼技巧，简单说，就是——

把你学到的东西，用最简单的语言，解释给一

个完全不懂的人听。

用在数学上，具体操作是——

学完一个知识点，或者做完一道题，找一张空

白纸，不看课本不看笔记，把这个知识点或者这道题的思路，从头到尾写出来——

能写清楚，说明真的懂了。

写不清楚，说明还有漏洞，回去再看，然后再

写。

这个方法，逼着你把被动接受的知识，变成主

动组织的输出——

这个过程，才是真正的理解发生的地方。

说一个关于“高原期”的真实情况

高中数学提分，不是线性的。

不是你努力一周，分数涨一点；努力两周，再涨一点——

員实的提分曲线，是这样的——

努力一段时间，分数没有变化，甚至还下降了

然后，突然某一次，分数大幅提升，然后稳定

在新的平台上——

然后，再次进入平台期——

然后，再次突破。

那段分数没有变化的时间，叫”高原期”。

很多人在高原期放弃了——

觉得自己努力了没有用，

觉得自己就是这个水平了，然后停下来，然后那次突破永远没有发生。

高原期，是大脑在整合、在建立更深的连接

——它不是在浪费时间，是在为下一次突破充电。

你能做的，是在高原期，不要改变方法，不要

放弃，继续按照正确的方式做——

然后等着那次突破到来。

它会来的。

只要方向是对的，它一定会来。

说一个时间规划，考前三个月怎么分配

如果你现在距离考试还有三个月——

第一个月：查漏补缺，专项突破。

把所有模块，按照你的掌握程度，分成三类

掌握好的，维持，不要花太多时间。

掌握一般的，集中突破，做专项练习。

完全不会的，先搞懂基础，再做练习。

这个月，不做综合卷，只做专项——

因为综合卷做完了，你看不出来自己的问题在

哪个模块，专项做完，问题一目了然。

第二个月：综合训练，建立整体感。

开始做完整套卷，但做完之后，认真分析——每道错题，属于哪个模块，属于什么类型的问题，之前专项训练的时候有没有出现过同类问题。

这个分析，帮你看清楚自己的问题有没有真正

解决，还是只是暂时好转。

这个月，每周至少两次完整套卷，严格计时，

不允许暂停——

练习考场状态，练习时间分配，练习在压力下

稳定发挥。

第三个月：稳定状态，不要大幅改变策略。

这个阶段，不要开始新内容，不要刷从来没见

过类型的题——

重点是回顾，回顾之前做过的错题，回顾之前

总结的方法，把已经掌握的东西，稳固住。

同时，调整作息——

让自己在考试的那个时间段，是精力最好的状

态。

考试是早上九点开始，你就要把自己的精力高

峰，调到早上九点到十一点。

最后说一件事，可能是这篇里最重要的一句话

数学这件事，没有天才不天才的问题。

有的只是——

你有没有真正理解它，你有没有找到正确的方

法，你有没有给它足够的时间。

这三件事都做到了，数学就会进步。

没有例外。

我高中的时候，数学卡在一个地方，很久都没

有突破——

后来我做了一件事——

把所有的错题，一道一道，真正弄懂，不是看

了答案就翻篇，是能自己从头做出来——

那个学期末，数学考了143。

不是天赋爆发，是那段时间，终于把努力用对

了地方。

你现在感觉数学怎么学都提不了分———

很可能不是你不够努力，是你的努力，还沒有

用到真正应该用的地方。

找到那个地方，然后使劲。

分数会动的。